AKU DAN MATEMATIKA

TEORI BILANGAN
APA BILANGAN ITU ?
• Satuan dalam sistem matematis yang abstrak dan dapat diunitkan, ditambah, atau dikalikan.
• Ide yang bersifat abstrak yang bukan simbol atau lambang, yang memberi keterangan tentang banyaknya anggota himpunan.

PERKEMBANGAN BILANGAN
 Bilangan Asli;
Notasi : 1, 2, 3, ...
Himpunan Bilangan Asli, Notasi N.
N = {1, 2, 3, …}
 Bilangan Cacah;
Notasi : 0, 1, 2, 3, …
Himpuanan Cacah, Notasi C.
C = {0, 1, 2, 3, …}
 Bilangan Bulat;
Notasi : …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Himpunan Bilangan Bulat, Notasi Z.
Z = {…, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, …}
 Bilangan Rasional;
Notasi : a/b, dengan a, b Î Z dan b = 0
Himpunan Bilangan Rasional, Notasi Q.
Q = {a/b: a, b Î Z dan b = 0}
 Bilangan Irasional, bukan bilangan rasional



SISTEM BILANGAN BULAT
Bilangan Bulat
…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Himpunan Bilangan Bulat dinatosikan dg. Z
Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Definisi:
Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

dengan operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (x). Untuk setiap a, b, c Î Z, sistem mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. Sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
Ada dengan tunggal (a + b) Î Z.
Ada dengan tunggal (a x b) Î Z
2. Sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.
a + b = b + a
a x b = b x a
3. Sifat assosiatif penjumlahan dan perkalian.
a + (b + c) = (a + b) + c.
a x (b x c) = (a x b) x c.
4. Sifat distributif kiri dan kanan perkalian terhadap penjumlahan.
a x (b + c) = a x b + a x c.
(a + b) x c = a x c + b x c

5. Ketunggalan invers penjumlahan.
"a Î Z, ada dengan tunggal elemen -a Î Z sehingga a + -a = -a + a = 0,
-a dinamakan invers penjumlahan dari a.
6. Ada elemen identitas penjumlahan.
"a Î Z, ada dengan tunggal elemen 0 dalam Z sehingga a + 0 = 0 + a = a,
0 dinamakan elemen identitas penjumlahan.
7. Ada elemen identitas perkalian.
"a Î Z, ada dengan tunggal elemen 1 dalam Z sehingga a x 1 = 1 x a = a,
1 dinamakan elemen identitas perkalian.
8. Perkalian dengan nol. "a Î Z, maka 0 x a = a x 0 = 0.

Urutan pada Z.
Berikut ini, kita akan uraikan relasi urutan pada Z.
Definisi:
Jika a, b Î Z, a lebih kecil dari b (disimbolkan dengan a < b) Û $c Î Z+ sedemikian hingga a + c = b. Sifat Trikonomi pada Z Sifat ini menyatakan bahwa jika a, b Î Z sebarang, maka berlaku tepat satu relasi dari tiga kemungkinan yang dapat dipenuhi, yaitu : (1) a < b (2) a = b (3) a > b

Relasi Eqivalen pada Z
Pada bilangan bulat juga berlaku relasi eqivalen, yaitu
(1) Untuk setiap a, a = a (sifat refleksif)
(2) Jika a = b maka b = a (sifat simetris)
(3) Jika a = b dan b = c maka a = c (sifat transitif)
Sifat-Sifat Operasi pada Z
Demikian pula, anda dengan mudah dapat menunjukkan kebenaran-kebanaran pernyataan berikut :
Apabila a, b, c, dan d bilangan-bilangan bulat dan
(1) a = b maka a + c = b + c
(2) a = b maka a.c = b.c
(3) a = b dan c = d maka a + c = b + d
(4) a + c = b + c maka a = b
(5) a x c = b x c dengan c ¹ 0 maka a = b
Sifat (4) dan (5) di atas berturut-turut disebut sifat kanselasi terhadap penjumlahan dan perkalian.
Teorema 1
Jika a, b, c Î Z, maka a < b Û a + c < b + c. Bukti : Akan kita tunjukkan (i) Jika a < b maka a + c < b + c dan (ii) Jika a + c < b + c maka a < b. Bukti: bagian (i) a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga a + k = b (definisi <) (a + k) + c = b + c (sifat + pada kesamaan) a + (k + c) = b + c (sifat assosiatif +) a + (c + k) = b + c (sifat komutatif +) (a + c) + k = b + c (sifat assosiatif +) a + c < b + c (definisi <) Jadi terbukti, jika a < b maka a + c < b + c. Bukti: bagian (ii) a + c < b + c berarti ada bilangan bulat positif n sedemikian hingga (a + c) + n = b + c (definisi <) a + (c + n) = b + c (sifat assosiatif +) a + (n + c) = b + c (sifat komutatif +) (a + n) + c = b + c (sifat assosiatif +) [(a + n) + c] + -c = (b + c) + -c (sifat + pada kesamaan) (a + n) + (c + -c) = b + (c + -c) (sifat assosiatif +) (a + n) + 0 = b + 0 (sifat invers +) a + n = b (sifat identitas +) a < b (definisi<) Jadi terbukti, jika a + c < b + c maka a < b. Teorema 2 Jika a, b Î Z. Jika a < b, maka (1) a.c < b.c untuk c bilangan bulat positif. (2) a.c > b.c untuk c bilangan bulat negatif
Bukti : Bagian (i)
(i) a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga a + k = b (definisi <) (a + k) . c = b . c (sifat x pada kesamaan) (a . c) + (k . c) = b . c (sifat distributif kanan x terhadap +) a . c < b . c (definisi <, karena (k.c) bil. bulat positif) Jadi terbukti, jika a, b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a < b maka a . c < b . c Bukti: Bagian (ii) (ii) a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga a + k = b (definisi <) (a + k) . c = b . c (sifat x pada kesamaan) (a . c) + (k . c) = b . c (sifat distributif kanan x terhadap +) Karena k bilangan bulat positif dan c bilangan bulat negatif, maka (k.c) suatu bilangan bulat negatif, sehingga -(k.c) bilangan bulat positif, maka [(a . c) + (k . c)] + - (k.c) = (b . c) + -(k .c) (sifat + tdp pers.) (a . c) + [(k . c) + - (k.c)] = (b . c) + -(k .c) (sifat assosiatif +) (a . c) + 0 = (b . c) + -(k .c) (sifat invers +) (a . c) = (b . c) + -(k .c) (sifat identitas +) a . c > b . c (karena -(k.c) bil. bulat positif)
Jadi terbukti, jika a, b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a < b maka a . c > b . c.
Bagaimana jika c = 0
maka a.0 = 0 dan b.0 = 0
hal ini tidak mungkin 0 < 0 maupun 0 > 0.
Teorema 3
Sifat transitif urutan, a, b, c Î Z.
Jika a < b dan b < c maka a < c Bukti : a < b dan b < c berati berarti ada bilangan-billangan bulat positif m dan n sedemikian hingga a + m = b dan b + n = c (definisi <) (a + m) + n = b + n (sifat + pada persamaan) (a + m) + n = c (b + n = c) a + (m + n) = c (sifat assosiatif +) a < c (definisi <, dimana m + n Î Z+) Jadi terbukti, jika a < b dan b < c maka a < c. Sifat Keterbagian Bilangan Bulat Bilangan Prima Definisi: (Habis Dibagi) Jika a, b Î Z, dikatakan a membagi habis b, dan ditulis a½b, Û $ k Î Z sedemikian hingga k.a = b. Jika $ k Î Z sedemikian hingga k.a = b, maka dikatakan a tidak membagi habis b, dan ditulis a½ b. Terdapat beberapa istilah lain yang mempunyai arti sama dengan a½b ialah : a membagi b a faktor dari b a pembagi dari b b terbagi a b adalah kelipatan dari a Teorema: (Habis Dibagi) Misalkan x, y, z Î Z sebarang maka: a. Jika x½y dan y½z maka x½z. b. Jika x½y maka x½py untuk setiap "pÎ Z. c. Jika x½y dan x½z maka x½(py + qz) "p, q Î Z. d. Jika x½y dan y½x maka x = ± y. e. Jika x½y, x > 0, y > 0 maka x £ y.
f. Jika m tidak nol x½y Û mx½my.

Definisi: (Bilangan Prima)
Sebuah bilangan bulat p > 1, disebut bilangan prima, atau sebuah prima, jika tidak ada pembagi dari p yang memenuhi 1 < d < p, atau dengan kata lain jika p bilangan prima maka p hanya mempunyai faktor positif 1 dan p sendiri. Jika p > 1 bukan prima, maka disebut bilangan komposit, atau dengan kata lain, jika p bilangan komposit maka p mempunyai faktor positif selain 1 dan p sendiri .

Teorema:
Setiap bilangan bulat positif x, selain 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima.

Teorema:
Setiap bilangan bulat positif x, selain 1 dapat dinyatakan sebagai hasilkali bilangan-bilangan prima (mungkin hanya memiliki satu faktor).

Teorema:
(Teorema Dasar Aritmetika)
Pemfaktoran bilangan bulat positif, selain 1 menjadi perkalian bilangan-bilangan prima adalah tunggal (unik), kecuali urutannya.

Teorema:
Terdapat tak terhingga banyaknya bilangan prima.

Teorema:
Jika x bilangan komposit, maka x memiliki faktor bilangan bulat positif m sedemikian hingga
1 < m £ Öx. Teorema: (Algoritma Pembagian) "x, y Î Z dengan x > 0, terdapat bilangan-bilangan bulat q dan r yang tunggal sedemikian hingga
y = qx + r dengan 0 £ r < x (I). Soal-Soal: 1. Jika x, y, z bilangan-bilangan bulat buktikan: a. Jika x½y dan x½z maka x½(y + z). b. Jika x½y dan x½z maka x½(y – z). c. Jika x½y dan x½(y + z) maka x½z. d. Jika x½y dan x½z maka x½yz. e. Jika x½y dan y ¹ 0 maka ½x½ ½£y½. 2. Berapa banyaknya bilangan prima antara : (a) 1 sampai 300; (b) 300 sampai 500; (c) 500 sampai 1000 3. Tuliskan semua faktor prima dari : (a) 156; (b) 852; (c) 2460; (d) 3453; (e) 6878 4. Manakah bilangan-bilangan berikut bilangan prima : (a) 157; (b) 737; (c) 1003; (d) 1673; (e) 4567 5. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk kanonik : (a) 178; (b) 268; (c) 894; (d) 46788; (e) 80246 Faktor Persekutuan Terbesar Definisi:[faktor persekutuan (FP)] x, y, z Î Z, z disebut faktor persekutuan dari x dan y jika dan hanya jika z½x dan z½y atau z = FP(x, y) Û z½x dan z½y Definisi: Perluasan [faktor persekutuan (FP)] x1, x2, x3, …, xn, z Î Z, z disebut faktor persekutuan dari x1, x2, x3, …, xn jika dan hanya jika z½xi, " i = 1, 2, 3, …, n. atau z = FP(x1, x2, x3, …, xn)Û z½xi, " i = 1, 2, 3, …, n. Definisi: [faktor persekutuan Terbesar (FPB)] x, y, z Î Z, z disebut faktor persekutuan terbesar dari x dan y yang keduanya tidak nol (ditulis “z = FPB(x, y)”) Û z = FP(x, y), dan jika $ w = FP(x, y) maka w £ z. Definisi: perluasan [faktor persekutuan Terbesar (FPB)] x1, x2, x3, …, xn, z Î Z, z disebut faktor persekutuan terbesar dari x1, x2, x3, …, dan xn yang semuanya tidak nol (ditulis “z = FPB(x1, x2, x3, …, xn)”) jika dan hanya jika z = FP(x1, x2, x3, …, xn), dan jika $ w = FP(x1, x2, x3, …, xn) maka w £ z. Cara Mencari FPB: antara lain I. Menuliskan Faktor-Faktor bilanganya II. Menuliskan Fatorisasi Prima bilangannya Contoh 1: Tentukan FPB(6, 15) ? Penyelesaian: Cara I Faktor-faktor dari 6 adalah {1, 2, 3, 6} dan faktor-faktor dari 15 adalah {1, 3, 5, 15} sehingga FP(6, 15) adalah {1, 3} karena 3 yang terbesar maka FPB(6, 15) = 3 Cara II 6 = 2.3 dan 15 = 3.5. Karena 3 merupakan faktor persektutuan dari 6 dan 15 maka FPB(6, 15) = 3. Contoh 2: Tentukan FPB(108, 300) ? Penyelesaian: Cara II 108 = 22.33 = 22.33.50 dan 300 = 22.3.52 maka FPB(108, 300) = 22.3.50 = 22.3 = 12. Catatan: Jika FPB(x, y) = 1 maka x dan y disebut relatif prima (saling prima) Contoh III.5: Tentukan FPB(8, 15) ? Faktor-faktor dari 8 adalah {1, 2, 4, 8} dan faktor-faktor dari 15 adalah {1, 3, 5, 15} sehingga FP(8, 15) = 1 dan karena juga FPB(8, 15) = 1. 8 dan 15 disebut saling prima Teorema: Jika FPB(x, y) = z maka FPB(x : z, y : z) = 1. Teorema: penggunan algoritma Euclides Jika y = qx + r maka FPB(y, x) = FPB(x, r). Contoh: Tentukan FPB(4652, 232) ? Penyelesaian: Dengan algoritma pembagian dari pasangan bilangan-bilangan 4652 dan 232, kita peroleh 4652 = 20.232 + 12. Menurut teorema penggunan algoritma, didapat FPB(4652, 232) = FPB(232, 12). Dan algoritma pembagian dapat dilanjutkan lagi dengan pasangan bilangan-bilangan 232 dan 12, kita peroleh 232 = 19.12 + 4 Menurut teorema penggunan algoritma, didapat FPB(232, 12) = FPB(12, 4), =4. Jadi FPB(4652, 232) = 4. Teorema: Jika FPB(x, y) = rj maka ada bilangan-bilangan bulat m dan n sedemikian hingga mx + ny = rj. Teorema: Jika mx + ny = 1 maka FPB(x, y) = 1 Bukti: Misalkan w = FPB(x, y), maka w½1. Karena w = FPB(x, y), maka w adalah bilangan bulat positif. Jadi haruslah w =1. (teorema terbukti) Teorema: Untuk setiap bilangan bulat k, berlaku: FPB(x, y) = FPB(x, y + kx) Contoh: Jika FPB(6, 15) = 3, tentukan FPB(6, 45) ? Penyelesaian: Karena FPB(6, 45) = FPB(6, 15 + 5.6) Maka FPB (6, 45) = FPB(6, 15 + 5.6) = FPB(6, 15) = 3 Jadi FPB(6, 45) = 3. Teorema: Jika y½px dan FPB(x, y) = 1 maka y½p. Teorema: Jika z½x dan w½x, FPB(z, w) = 1 maka zw½x. Teorema: Jika FPB(x, z) = FPB(y, z) = 1 maka FPB(xy, z) =1. Contoh: Tentukan FPB(500, 9)? Penyelesaian: Karena FPB(20, 9) = 1 dan FPB(25, 9) = 1 maka FPB(500, 9) = FPB(20.25, 9) = 1. Latihan III.2: 1. Tentukan FPB dari : (a) 57 dan 90 (b) 66 dan 90 (c) 126 dan 132 (d) 48 dan 130 (e) 84 dan 92 (f) 28 dan 16 (g) 46 dan 38 2. Misalkan x bilangan bulat. Tentukan : (a) FPB(1, x) (b) FPB(0, x) (c) FPB(x, x2) 3.Tentukan FPB dari : (a) 144, 72 dan 36 (b) 28, 63 dan 42 (c) 42, 96, 104 dan 18 4.Dengan menggunakan algoritma Euclides, Tentukan FPB dari : (a) 2464 dan 7469 (b) 1109 dn 4999 (c) 486 dan 522 (d) 2689 dan 4001 (e) 2997 dan 3987 (f) 912 dan 19.656 5.Misalkan w = FPB(x, y, z). Tunjukkan terdapat s, t, dan q sehingga: sx + ty + qz = w. 6.Tentukan nilai-nilai x, y dan z sehingga : (a) 314x + 159 y = 1 (b) 243x + 198y = 9 (c) 13x + 64 y = 1 (d) 93x – 81y = 3 (e) 71x – 50y = 1 (f) 6x + 10y + 15z = 1 7.Buktikan jika x½y dan x > 0 maka FPB(x, y) = x.
8.Buktikan FPB(FPB(x, y), y) = FPB(x, y).
9.Buktikan jika FPB(x, y) = 1 dan z½x maka FPB(z, y) =1.
10.Misalkan x dan y bilangan bulat positif.
Tunjukkan bahwa x½y jika dan hanya jika FPB(x, y) = x.
11.Buktikan bahwa jika mx + ny = z maka FPB(x, y)½z.
12.Buktikan bahwa jika z½xy dan FPB(z, x) = w maka z½yw.
13.Buktikan bahwa FPB(x, x + y) = jika dan hanya jika FPB(x, y) = 1.
14.Jika benar 6½x dan 7½x, benarkah 42½x ?. Mengapa ?.
15.Buktikan bahwa terdapat tak terhingga bilangan bulat x dan y yang
memenuhi: x + y = 100 dan FPB(x, y) = 5.
16.Buktikan tak ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi:x + y = 100 dan FPB(x, y) =3.
17.Evaluasilah FPB(x, x + 1) untuk setiap x bilangan bulat positif.
18.Misalkan z dan w bilangan-bilangan bulat positif. Buktikan ada
bilangan bulat x dan y yang memenuhi x + y = z dan
FPB(x, y) = w jika dan hanya jika w½z.






Kelipatan Persekutuan Terkecil
Himpunan kelipatan positif dari 6, adalah
P = k(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, …}
Himpunan kelipatan positif dari 9, adalah
Q = K(9) = {9, 18, 27, 36, 45, 54, …}
Maka irisan kedua himpunan tersebut adalah
PÇQ = {18, 36, 54, …}
disebut himpunan Kelipatan persekutuan (KP) dari 6 dan 9 ditulis
KP(6, 9) = {18, 36, 54, …} .
18 merupakan elemen terkecil dari P Ç Q disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 6 dan 9
Ditulis KPK(6, 9) = 18

Definisi: (kelipatan persekutuan)
Suatu bilangan bulat z disebut kelipatan persekutuan (KP) dari bilangan-bilangan bulat x dan y yang masing-masing tidak nol jika dan hanya jika x½z dan y½z atau
z = KP(x, y) Û x½z dan y½z

Definisi: (KP secara umum)
Suatu bilangan bulat z disebut kelipatan persekutuan (KP) dari bilangan-bilangan bulat x1, x2, x3, …, xn yang masing-masing tidak nol jika dan hanya jika xi½z untuk setiap i = 1, 2, 3, …, n atau
z = KP(x1, x2, x3, …, xn) Û xi½z, "i = 1, 2, 3, …, n

Definisi: (kelipatan persekutuan terkecil)
Suatu bilangan bulat positif z disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan-bilangan bulat x dan y yang masing-masing tidak nol jika dan hanya jika z = KP(x, y), jika terdapat w bilangan bulat positif dan w = KP(x, y) maka z £ w. atau
z = KPK(x, y) Û w Î Z+, w = KP(x, y) maka z £ w

Definisi: (KPK secara umum)
Suatu bilangan bulat positif z disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan-bilangan bulat x1, x2, x3, …, xn yang masing-masing tidak nol jika dan hanya jika z = KP(x1, x2, x3, …, xn), jika w bilangan bulat positif dan w = KP(x1, x2, x3, …, xn) maka z£w. atau
z = KPK(x1, x2, x3, …, xn) Û w Î Z+, w =KP(x1, x2, x3, …, xn) maka z£w

Te0rema:
Jika m bilangan bulat positif maka KPK(mx, my) =m.KPK(x, y).
Contoh:
Carilah KPK(60, 140) ?
Penyelesaian:
KPK(60, 140) = KPK(5.12, 5.28) = 5.KPK(12, 28) = 5.4 KPK(3, 7) = 20.21 = 420

Teorema:
Jika x dan y bilangan-bilangan bulat positif maka
KPK(x, y) = xy/FPB(x, y)
Contoh:
Tentukan KPK berikut:
(a) KPK(12, 30) (b) KPK(144, 180)
Penyelesaian: (bagian a)
Karena FPB(12, 30) = 6, maka KPK(12, 30) = (12.30)/6 = 60
Penyelesaian: (bagian b)
Karena FPB(144, 180) = 36, maka KPK(144, 180) = 144.180/36 = 720
Latihan :
1. Tentukan KPK dari :
(a) 24 dan 32 (b) 150 dan 210 (c) 6 dan 30 (d) 56 dan 22
2. Tentukan KPK dari :
(a) 24, 32, dan 38(b) 42, 34, dan 16 (c) 4620, 260, dan 320
3. Apa hubungan di antara x dan y jika KPK(x, y) = x ?
4. Buktikan bahwa:
”jika KPK(x, y) = xy jika dan hanya jika FPB (x, y) = 1”.
5. Tentukan semua bilangan bulat positif x dan y yang memenuhi
FPB(x, y) = 6 dan KPK(x, y) = 36 sekaligus.
6. Tentukan semua bilangan bulat positif x, y dan z yang
memenuhi sekaligus
FPB(x, y, z) = 6 dan KPK(x, y, z) = 36 sekaligus.
7. Buktikan bahwa: “jika x bilangan prima dan x|y maka KPK(x, y) = y.
8.. Buktikan bahwa : “jika x, y bilangan-bilangan bulat positif dan x = y
maka FPB(x, y) = KPK(x, y).
9. Buktikan bahwa : “FPB(x, y)|KPK(x, y)”.
10. Evaluasilah KPK(x, x + 1) untuk setiap bilangan bulat positif x.